Math Is Fun Forum
  Discussion about math, puzzles, games and fun.   Useful symbols: ÷ × ½ √ ∞ ≠ ≤ ≥ ≈ ⇒ ± ∈ Δ θ ∴ ∑ ∫ • π ƒ -¹ ² ³ °

You are not logged in.

#1 2017-08-19 15:41:53

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 247

Digit system of base ∞ ( infinity )

( I )  Number  and  digits 

Quantities  are  represented  in  numbers  , which  are  formed 
by  digits . By  repetition  and  different  orders  of  finite  digits ,
we  can  form   infinite  numbers .

( II )  Digits  of  numbers  with  various  bases 

(1) base  10 ( ten )
    The  set  of  digits  used  in  base  10  contains  0 , 1 , 2 ,
     3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8  and  9 .

(2) base  2 ( two )
     There  are  only  2  digits  in  base  2 :  0  and  1 .

(3) base  16 ( sixteen )
     For  bases  > 10  , say  base  16 ,the  1st  part  of  the  set  of
    digits  will  be  from  0  to  9 , then  for  values  > 9 , traditionally           
     we  use  capital  alphabets  A , B , C , D , E  and  F  , each 
     representing  a  single - digited  no.  corresponding  to 
     values  10 , 11 , 12 , 13 , 14  and  15  respectively . ( being
     2- digited  no. of  base  ten . )

( III ) base  ∞ ( infinity )
    We  shall  create  a  digit  system  of  base  ∞  in  the 
  following  way : Every  digit  of  base ∞  will  consists  of 
2  parts .
( i )  the  value  corresponding  to  a  number  in  base  ten ,
       which  may  be  single - digited  or  multiple - digited .
       
( ii ) the  above  number  enclosed  in  a  pair  of  brackets
       "「 "    and   " 」" .   (  「  and    」  are  bracket  signs 
       usually  used  in  writing  Chinese . )
  Thus  the  set  of  digits  of  base ∞  will  be  :  「0」, 「 1」,
    「2 」, 「 3」, 「 4」, 「5 」,  「 6」,  「7 」, 「8 」, 「9 」,
   「10 」, 「11 」...........「99」,「100」, and  so  on  up  to 「∞」.
    This  means  the  shapes  of  these  digits  are  mainly 
    borrowed  from  the  numbers  used  in  base  10 .
                     
( IV ) Combined  digit  system  of  base  10  and  base ∞
   By  adopting  digits  0 , 1 , ...... 8 , and  9  of  base 10 , together   
   with  digits  「10 」, 「11 」, 「12」... up  to 「∞」of  base ∞,
   a  more  convenient  digit  system  can  be  formed .
  For  bases  ≦ 10 , the  set  of  digits  of  base  10  will  be  enough ,
  if  single  digits   with  values  > 10  are  required , then  digits
  such  as  「10 」, 「11 」etc  will  also  be  used .
   For  example , the  set  of  digits  of  base  16  will  be  from 
  0 , 1 , ...  to  9 , together  with  「10 」, 「11 」, ...  up  to  「15」.
  Comparing  with  using  alphabets  A , B , ...  to  F  in  the  traditional 
way  , the  advantage  of using  digits  taken  from  base  ∞  is  that
it  will  be  more  intuitive , the  exact  value  of  the  digits  can 
be  obtained  at  a  glance .
     

( V )  Borrowing  of  digits  from  higher  bases
     Although  the  set  of  digits  for  a  base 「n 」will  be  from 
     0  to  「n - 1」, but  it  is  sometimes  convenient   to  borrow  digits
    from  a  higher  base .
   For  example , in  base  10 , to  denote  the  no.  34  we  may  also 
   write  2 「14」, 1 「24」 or  「34」 .

Offline

#2 2017-08-19 15:50:07

ganesh
Administrator
Registered: 2005-06-28
Posts: 23,297

Re: Digit system of base ∞ ( infinity )

mr.wong,

Ingenious!


It is no good to try to stop knowledge from going forward. Ignorance is never better than knowledge - Enrico Fermi. 

Nothing is better than reading and gaining more and more knowledge - Stephen William Hawking.

Offline

#3 2017-08-19 23:03:42

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 247

Re: Digit system of base ∞ ( infinity )

Thanks  ganesh  !

Offline

#4 2017-08-28 16:49:30

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 247

Re: Digit system of base ∞ ( infinity )

Exercise  involving  digits  taken  from  base  ∞

(1)  Find  the  value  of  「98 」「76 」「54 」( base「100 」)
         in  base  「10 」.
Solution  :   「98 」「76 」「54 」( base「100 」)
                 =  98 * 100 ^ 2  +  76 * 100  +  54
                 =  98 * 10000  +  7600 +  54
                 = 987654    ( base 「10」)

(2)  Find  the  value  of  「15」「15」「15」「14」( base 「16」)
          in  base 「10 」.
Solution  :  「15」「15」「15」「14」(  base 「16」)
                 =  10000 - 2  (  base 「16」)
                 =  16 ^ 4 - 2  (  base 「10」)
                =   65536 - 2
                =  65534    (  base 「10」)

(3)  Find  x  if   47 (  base 「x」)  +   39 (  base 「x」) =   80 (  base 「x」) 
Solution  :   Expressed  in  base  10 , the  equation  becomes 
                 4x + 7  +  3x + 9 =  8x
             ⇒ 7x  + 16  = 8x
          ⇒  x = 16 

(4)  Find  x  if  123 (  base 「x」)  =  「51」
Solution  :   Expressed  in  base  10 ,
                 x ^ 2  +  2x + 3 = 51 
          ⇒  x ^ 2  +  2x - 48 =  0
          ⇒  ( x - 6 ) ( x + 8 ) = 0
          ⇒  x =  6   
             or  x = - 8     ( rejected )

Offline

#5 2017-09-03 22:01:27

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 247

Re: Digit system of base ∞ ( infinity )

Arithmetic  with  numbers  of  base  「16」

Find  the  values  of  :
(1) 「10」「11」 +  5「13」
(2) 「10」「11」 -   5「13」
(3) 「10」「11」 *  5「13」
(4)  「10」「11」 /   5「13」

Solutions :
(1)  「10」「11」 +  5「13」
    = 「15」「24」
    = 「16」8
    =  108

(2)  「10」「11」 -   5「13」
    =  5 「-2」
    =  4 「14」

(3)  「10」「11」 *  5「13」
     = 「50」「55」0   +  「130」「143」
     = 「50」「185」「143」
     = 「50」「193」「15」
     = 「62」1 「15」
     =  3「14」1 「15」

  (4)  「10」「11」 /   5「13」
      =  1 +   4 「14」/  5「13」

Offline

#6 2017-09-14 22:47:46

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 247

Re: Digit system of base ∞ ( infinity )

Fractions  converted  to  " decimal  no. "  in  base  「16」

1/2 =  0.8
1/3 =  0.555 ....
1/4 =  0.4
1/5 =  0.333 ....
1/6 =  0.2「10」「10」「10」....
1/7 =  0.249249....
1/8 =  0.2
1/9 =  0.1「12」7 1「12」7 ....
1/「10 」 =  0.1999 ....
1/ 「11」=  0.1745「13」1745「13」....
1/ 「12」=  0.1555 .....
1/ 「13」=  0.13「11」13「11」....
1/ 「14」=  0.1249249....
1/ 「15」=  0.111 ...
1/ 10  =  0.1

Offline

#7 2017-09-26 19:48:28

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 247

Re: Digit system of base ∞ ( infinity )

More  fractions  with  corresponding  " decimal  no. "  in  base  「16」

2/3  = 0.「10」「10」「10」....  ( by  division )
        ( Or  2/3 = 1 - 1/3  =  0. 「15」「15」「15」....
                                       -  0. 555......
                                       = 0.「10」「10」「10」....   )

3/4  = 3 *  1/4  =  3 * 0.4  =  0. 「12」

2/5  =  2 *  1/5  =  2 * 0.333 ....
                         =  0.666 ....

3/5 =  1 - 2/5  =   0. 「15」「15」「15」....   -  0.666 ....
                       =   0. 999 ....

4/5  =  2 *  2/5  =  2* 0.666 ....
                          = 0. 「12」「12」「12」....   

5/6  =  1 -  1/6  =  0. 「15」「15」「15」....   
                         -   0.2「10」「10」「10」....
                         =  0. 「13」555 ....

2/7  = 2 * 1/7  =  2 *  0.249249....
                        =  0.4 8 「18」0.4 8 「18」....
                        =  0.4 9 2 492 ....
3/7  =  3 * 1/7  =  3 * 0.249249....
                         = 0. 6 「12」「27」.....
                         = 0. 6  「13」「11」.....

4/7  =  1 -  3/7  =  0. 「15」「15」「15」....   
                         -  0. 6  「13」「11」.....
                         =  0. 9 2 4 ......

5/7  =  1 -  2/7  =   0. 「15」「15」「15」....   
                         -  0 .492492 .....
                         =  0. 「11」6 「13」....

6/7  =  1 -  1/7  =   0. 「15」「15」「15」....   
                         -   0.249249....
                         =  0. 「13」「11」6 ....

3/8  =  3 * 1/8  =  3 * 0.2  =  0.6 

5/8  =  1 -  3/8  =  1 -  0.6  =  0. 「10」

7/8  =  1 -  1/8  =  0. 「16」-  0.2  =  0. 「14」

2/9  =  2 * 1/9 =  2 *  0.1「12」7 1「12」7 ....
                       =  0.2 「24」「14」 2 「24」「14」....
                       =  0.3 8 「14」3 8 「14」....

4/9  =  2 * 2/9  =  2 * 0.3 8 「14」3 8 「14」....
                        = 0. 6 「16」「28」 0. 6 「16」「28」....
                        = 0. 7 0 「28」7 0 「28」....
                        = 0. 7 1 「12」7 1 「12」....

5/9  =  1 - 4/9  = 0. 8 「14」3  8 「14」3 ....

6/9  =  2/3  =  0.「10」「10」「10」....   

7/9  =  1 - 2/9  =  1 -   0.3 8 「14」3 8 「14」....
                       =  0 .「12」7 1 「12」7 1 ....

8/9  =  1 - 1/9  =  1 -  0.1「12」7 1「12」7 ....
                       =  0 .「14」3 8 「14」3 8 ....

2/ 「10」= 1/5 = 0.333 ....

3/「10」= 5/「10」- 2/ 「10」= 1/2 -  0.333...
                                                     = 0.8 -  0.333...
                                                     = 0. 7「15」「15」「15」....- 0.333 ....
                                                     = 0. 4「12」「12」「12」.... 
       
7/「10」= 1 - 3/「10」= 0 .「11」333 ....

9/「10」= 1 - 0.1999 ....
               = 0 .「14」666 ....

Offline

#8 2017-10-06 22:14:57

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 247

Re: Digit system of base ∞ ( infinity )

Multiplication table of base 「16」


*    1    2    3       4      5      6        7          8            9    「10」    「11」    「12」    「13」     「14」       「15」         *   
1    1    2    3     4      5      6        7          8            9    「10」    「11」    「12」    「13」    「14」      「15」             1   
2        4    6    8    「10」「12」「14」 10             12        14        16        18     1「10」    1「12」     1「14」          2   
3            9    「12」「15」 12        15     18          1「11」 1「14」       21                  24          27    2「10」     2「13」          3   
4                        10     14      18   1「12」20          24      28             2「12」         30          34         38       3「12」           4   
5                                  19   1「14」  23   28          2「13」      32                 37       3「12」        41         46       4「11」           5   
6                                         24    2「10」30        36    3「12」         42           48        4「14」      54       5「10」          6   
7                                                  31       38        3「15」   46            4「13」           54        5「11」      62       69                     7
8                                                         40            48       50              58                  60           68          70       78                     8
9                                                                               51    5「10」      63               6「12」        75     7「14」       87             9
「10」                                                                                        64      6「14」           78           82     8「12」       96            「10」
「11」                                                                                                    79             84        8「15」     9「10」  「10」5             「11」   
「12」                                                                                                                               90     9「12」    「10」8   「11」4             「12」   
「13」                                                                                                                                          「10」9     「11」6   「12」3           「13」      
「14」                                                                                                                                                       「12」4   「13」2           「14」      
「15」                                                                                                                                                                       「14」1          「15」

Offline

#9 2017-10-12 15:49:44

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 247

Re: Digit system of base ∞ ( infinity )

Multiplication  table  of  base  「16」( II ) .
( This  post  may   replace  #  8   . )

( 2 )  2 * 1 = 2 ,              2 * 2 = 4 ,                 2 * 3 = 6  ,                   2 * 4 = 8 ,                      2 * 5 =   「10」,   
        2 * 6 = 「12」,     2 * 7  = 「14」,      2 * 8 = 10  ,                  2 * 9 = 12 ,                    2 * 「10」= 14 , 
        2 * 「11」= 16  ,  2 * 「12」=  18 ,    2 *「13」= 1「10」, 2 * 「14」 = 1「12」, 2 * 「15」= 1「14」

( 3 )  3 * 1 = 3                3 * 2 = 6 ,            3 * 3 = 9 ,             3 * 4 = 「12」,               3 * 5 =  「15」, 
        3 * 6 = 12 ,            3 * 7 = 15 ,           3 * 8 = 18 ,           3 * 9 =   1「11」,           3 * 「10」= 1「14」,
        3 * 「11」= 21 ,  3 *「12」=  24 ,  3 *「13」= 27 ,   3 * 「14」 = 2「10」,   3 * 「15」=2「13」

( 4 ) 4 * 1 = 4 ,                 4 * 2 = 8 ,                   4 * 3 =   「12」,         4 * 4 = 10 ,                  4 * 5 = 14 ,
       4 * 6 = 18 ,                4 * 7 = 1「12」,       4 * 8 =  20 ,                  4 * 9 = 24 ,                  4 * 「10」= 28 ,
       4 *「11」= 2「12」, 4 * 「12」=  30 ,   4 * 「13」= 34 ,          4 * 「14」 = 38 ,        4 * 「15」= 3「12」

( 5 ) 5 * 1 = 5 ,                5 * 2 = 「10」,              5 * 3 = 「15」,         5 * 4 = 14 ,               5 * 5 = 19 ,
       5 * 6 = 1「14」,     5 * 7 =  23 ,                    5 * 8 = 28 ,                5 * 9 = 2「13」,       5 * 「10」=  32  , 
       5 * 「11」= 37 ,     5 *「12」=  3「12」,   5 * 「13」= 41 ,      5 * 「14」= 46 ,       5 * 「15」= 4 「11」

( 6 ) 6 * 1 = 6 ,              6 * 2 = 「12」,           6 * 3 = 12 ,                   6 * 4 = 18 ,                6 * 5 = 1「14」,
       6 * 6 = 24 ,            6 * 7 = 2「10」,          6 * 8 = 30 ,                   6 * 9 = 36 ,                6 *「10」=   3「12」,
       6 *「11」= 42 ,    6 *「12」= 48 ,         6 *「13」=  4「14」,  6 * 「14」=  54 ,      6 *「15」=  5「10」

( 7 ) 7 * 1 = 7 ,                       7 * 2 = 「14」,          7 * 3 =  15 ,                   7 * 4 =  1「12」,    7 * 5 =  23  ,
        7 * 6 =  2「10」,          7 * 7 =  31 ,                 7 * 8 =  38 ,                   7 * 9 =   3「15」,   7 *「10」=   46 ,
        7 *「11」= 4「13」,   7 *「12」=  54 ,        7  *「13」=  5「11」, 7 *「14」=  62 ,     7 *「15」=  69

( 8 ) 8 * 1 = 8 ,                8 * 2 = 10 ,                8 * 3 = 18 ,                8 * 4 = 20 ,                         8 * 5 = 28  ,
        8 * 6 = 30 ,              8 * 7 = 38 ,                8 * 8 =  40 ,               8 * 9 = 48 ,                         8  *「10」=  50 ,
        8 *「11」=  58 ,    8 *「12」= 60 ,        8*「13」= 68 ,         8*「14」= 70 ,                 8 *「15」=  78

( 9 ) 9 * 1 = 9 ,              9 * 2 = 12 ,                         9 * 3 =  1「11」,        9 * 4 = 24 ,                        9 * 5 =   2「13」,
        9 * 6 = 36 ,            9 * 7 =  3「15」,              9 * 8 =  48 ,                  9 * 9 = 51 ,                        9   *「10」= 5「10」,
        9 *「11」=  63 ,   9 *「12」=   6「12」,     9 *「13」=  75           9 *「14」=  7「14」,     9 *「15」=  87                                 

(「10」)「10」* 1 = 「10」,     「10」* 2 = 14 ,        「10」* 3 = 1「14」,     「10」* 4 = 28 ,          「10」* 5 = 32  ,
               「10」*  6 =  3「12」, 「10」* 7 =  46 ,      「10」* 8 = 50 ,        「10」* 9 =  5「10」,         「10」*「10」=  64 ,
        「10」*「11」= 6「14」, 「10」*「12」= 78 , 「10」*「13」= 82 ,「10」*「14」= 8「12」, 「10」*「15」=  96         

(「11」)「11」* 1 = 「11」,      「11」* 2 = 16 ,       「11」* 3 = 21 ,    「11」* 4 = 2「12」,     「11」* 5 = 37  ,
             「11」* 6 = 42 ,        「11」* 7 = 4「13」,     「11」* 8 = 58 ,     「11」* 9 = 63  ,        「11」*「10」=  6「14」,
      「11」*「11」= 79 , 「11」*「12」=  84 , 「11」*「13」=  8「15」,「11」*「14」=   9「10」,「11」*「15」= 「10」5     
                       
(「12」) 「12」* 1 =  「12」,      「12」* 2 = 18 ,       「12」* 3 = 24 ,        「12」* 4 = 30 ,        「12」* 5 = 3「12」,   
          「12」* 6 =   48 ,        「12」* 7 = 54  ,              「12」* 8 = 60 ,         「12」* 9 = 6「12」, 「12」*「10」=  78 ,
   「12」*「11」= 84 , 「12」*「12」= 90 , 「12」*「13」=   9「12」, 「12」*「14」= 「10」8 , 「12」*「15」= 「11」4
                       
(「13」)「13」* 1 =  「13」,      「13」* 2 = 1「10」,      「13」* 3 = 27 ,            「13」* 4 = 34 ,                     「13」* 5 = 41 ,
                 「13」* 6 =  4「14」,     「13」* 7 = 5「11」,    「13」* 8 = 68 ,               「13」* 9 = 75 ,            「13」*「10」=  82 , 「13」*「11」=  8「15」,「13」*「12」=  9「12」,「13」*「13」= 「10」9 ,「13」*「14」= 「11」6 ,「13」*「15」= 「12」3
       
(「14」)「14」* 1 =  「14」,   「14」* 2 = 1「12」,      「14」* 3 =   2「10」,      「14」* 4 = 38 ,                     「14」* 5 = 46 ,
              「14」* 6 =  54 ,          「14」* 7 = 62 ,         「14」* 8 = 70 ,            「14」* 9 = 7「14」,     「14」*「10」=  8「12」,   「14」*「11」=  9「10」,「14」*「12」= 「10」8  ,「14」*「13」= 「11」6 ,「14」*「14」= 「12」4, 「14」*「15」= 「13」2

(「15」)「15」* 1 =  「15」,   「15」* 2 = 1「14」,      「15」* 3 =   2「13」,   「15」* 4 =  3「12」,          「15」* 5 =   4「11」,
              「15」* 6 =     5「10」,         「15」* 7 = 69 ,         「15」* 8 = 78 ,                「15」* 9 = 87 ,            「15」*「10」=  96 , 
「15」*「11」= 「10」5  ,「15」*「12」= 「11」4,「15」*「13」= 「12」3 ,「15」*「14」= 「13」2 ,「15」*「15」= 「14」1

Offline

Board footer

Powered by FluxBB