Math Is Fun Forum

Thanks  thickhead ,

I  even  don't  know  how  to  check  the  integrals 
with"Wolfram alpha double integrals" !

Hi  bobbym ,

Your  simulation  of  P = 1/10  (in  the  thread  "
geometric  probability  --- square " # 11  and  #  20 
has  been  verified  by  thickhead 's  work  , while 
my  results  were  all  wrong !

Hi  thickhead ,

Have  you  any  idea  to  solve  the  3  questions  of  problem  (III)  ?

Hi  thickhead ,

Thanks  much  for  your  work ! 
Thus  it  seems  my  assumption  in  # 2  should  be  correct , 
and  it  makes  the  further  study  much  simpler .
I  am  not  satisfied  for  the  questions  involving  only  1 
moving  triangle . The  following  related  questions  based  on 
the  original  problem  will  be  involving   2  moving  triangles .
Please  try  to  solve  them  with  your  skilful  technique  in
multiple  integration  if  you  are  interested !

(III) (a) If  a  point  is  chosen  randomly  on  triangle  PLN , find  the  probability  that  the  point  also  lies  inside  B  and  C .
(III) (b) If a point is chosen randomly on triangle X , find the
probability that the point also lies inside both B and C .
(III) (c) If a point is chosen randomly on triangle E , find the
probability that the point also lies inside B and C .

Assumed  that  nomatter  triangle  PLN , or  triangle  LQM , or 
triangle  NMR , their  probability  with  C  (also  for  A  and  B )
will  be  the  same  and  denoted  by  x .
Since  the  probability  of  E  with  C  should  simply  be  1/4  and 
the    probability  of  X  with  C  can  be  found  to  be  1/2 , thus 
1/4  =  1/4 * x + 1/4 * x + 1/4 * x + 1/4 * 1/2
       =  3/4 * x +  1/8 
Thus  1/8 = 3/4 * x   , which  yields  x = 1/8* 4/3 = 1/6 .

Hi  thickhead ,

For  the  problem  involving  the  squares , it  seems  you  have 
considered  the  area  which  has  been  covered  by  square  A 
during  moving , but  not  the  area  being  covered  by  A  after 
moving  . This  is  not  the  aim  of  the  original  problem .
Even  so  the  " gross  mobility  diagram  "  should  looks  like 
a  hexagon  instead  of  a  rectangle . ( if  moving  in  a  straight 
line )  Thus  the  net  area  should  be  less  than   xy + x + y .
I  don't  know  whether  my   comprehension  of   your  statement 
is  right  or  not . Please  correct  me  otherwise .
Nevertheless , I  still  persist  that  with  the  aim  of  the  original 
problem , the  answer  should  be  1/9 .

Hi  bobbym ,

You  got  an  answer  of  1/8  for  Problem ( III) in  #  38 ,  this  is 
equivalent  to   an  answer  of  1/2  for  Problem  (III)( B ) in
# 46 .  I  wonder  why   you  give  up  this  result ?
Though  triangle  X  occupies  1/4  of  the  area  of  triangle  E ,
but  its  position  is  at  the  centre  of  E , thus  the  probability 
that  it  overlaps  with  triangle  A  should  be  greater .

Hi  bobbym ,

I  think  the  diagram  in  post  #46  is  still  useful .
I   am  not  sure  that  my  answer  of  1/2  is  correct ,
I  will  keep  on  investigating .

Hi  bobbym ,

That  answer  is  for  Problem  (III B)  at  #  46 .

After  collecting  enough  data  and  solving  the  corresponding
  coefficients  , we  obtain  the  following  equation  : 
z= 1/2 x - xx + 1/2 y -yy - xy
   = 1/2 ( x-2xx + y - 2yy - 2xy )
( What  will  be  the  maximum  value  of  z  for 
0 ≤ x≤1/2  and  0≤y≤1/2 ? ) (  in  fact  1/2
means  1/2  of  length  of  8 units = 4 units  as
in  the  diagram  shown  in  # 46 .)

It's  time  for  us  to  draw  a  3-dimensional 
diagram  . But  it  is  difficult  for  me  to  draw  a 
diagram  consisting  of  non-linear  curves  using  the 
Geogebra , therefore  I  can  only  describe
the  diagram  in  words .
The  base  of  the  polyhedron  is  a  right -angle 
triangle  PQR  with  PQ = QR = 1/2 un.
For  y=0 ,(i.e. the x-axis ) the  above  equation
becomes  z=1/2 ( x-2xx) , being  a  quadratic
curve  over  QR . Similarly  for  x=0 ,
z=1/2 ( y-2yy) ,being  a  quadratic  curve  over
QP .
For  x+y = 1/2 , the  equation  becomes 
z=1/2(1/2 - 2xx-2yy-2xy)
= 1/4 -xx-yy-xy
also  being  a  quadratic  curve  over PR .
( The  above  3  curves  all  have  maximum 
values  = 1/16  at  the  mid-points  of  PQ , QR
and PR .)
Can  anyone  please  find  the  volume  of  the
polyhedron  using  integration  for  me ? Thanks
in  advance !

Hi  bobbym ,

I  hope  you  can  see  the  diagram !

Related  problem (III) ( B )

Inside  a  triangle  E  there  is  a  smaller  triangle  X  formed  by  joining
the  mid-points  of  the  3  sides  of  E  , and  stays  fixed  in  its  position .
Another  similar  triangle  A  , with  lengths  of  sides  being  1/2  of  that
of  E  and  parallel  to  E   with  corresponding  vertices  facing  the  same
direction ,  can  move  freely  but   parallelly  inside  E  .
If  a  point  is  chosen  randomly  on  X , find  the  probability  that  the
point  also  lies  inside  A  .

Procedure  to  solve  this  problem  with  3-dimensional  geometry :
Let  VA  denotes  the  right - angle  vertex  of  triangle  A , with 
co-ordinate  lies  within  the  triangle  PBA . ( with  co-ordinates  (0,0) ,
(4,0)  and  (0,4) )  For  various  locations  of  VA , the  area  of  overlapped
portion  of  triangles  A  and  X  can  be  found  experimentally .
E.g. , when  VA = (0,0)  or  (4,0)  or  (0,4) ( at  point  P , B  and  A resp ), the  CA ( common  area )  all = 0 ; if  VA  moves  to  the  point  S (2,2) ,
then   common  portion  will  be  the  square  SC , with  area  4  units .
Basically  we  should  collect  6  co-ordinates  of  VA , besides  the  4
points  stated , 2  more  co-ordinates  (2,0) and (0,2)  should  be  tackled .
After  we  have  collected  certain  data , we  try  to  illustrate  the  relation
between  the  CA  and  the  various  co-ordinates  of  VA  with  a  3-dimensional  diagram  : x-axis  will  be  the  line  PB ,  y-axis  will
show  the  line  PA , while   z-axis  will  show  the  values  of  CA .
If  the  curves  formed  by  joining  the  various  points  of  CA  seem
to  be  linear ( straight  lines  ) , then  it  will  be  ok  and  we  shall  continue
to  calculate  the  volume  of  the  corresponding  polyhedron , and  then 
the  average  height  , representing  the  average  value  of  CA . Divided  this  value  by  the  area  of  triangle  ABC , the  probability  required  will  be  obtained .
Otherwise  we  have  to  collect  more  data , i.e. more  values  of  CA  corresponding  to  more  locations  of  VA  inside  the  triangle  PBA . If 
the  curves  obtained  shown  to  be  non-linear ( e.g. quadratic )  , to  calculate  the  corresponding  volume  we  need  to  use  integration  or  even  multiple  integration .

Hi  bobbym ,

I  don't  know  how  to  add  a  diagram  as  affix  to  my  post !

Hi  bobbym ,

You  get  P = about 1/8 , since  P of  the  point  lies  within  X  = 1/4 .
Does  this  mean  that  P  of  the  point   lies  within  A  = about  1/2 ?
I  have  not  got  the  answer  by  myself  yet . If  I  try  to  solve  it  with
solid  geometry , I  need  to  find  the  volume  of  a  polyhedron  consisting 
of  quadratic  curve , and  then  its  average  height , but  I  have  no  confidence
to  do  so .
Let  us  return  to  the  3  triangles  problem  at  # 6 , with  reference  of 
your  diagram  at  # 13   . If  one  of  the smaller   Δ  , say  B , is  fixed
with  its  vertice  corresponding  the  right  angle , at  coordinate
at  either  (i) (0,0)  or  (ii) (1/2, 0)  or  (iii) ( 0, 1/2)  , while  Δ A 
is  movable , will  P  all  = 1/6 ?  [ Where  the  coordinates  of
the  3  vertex  of  the  large Δ  E  are  pre-set  at  ( 0,0)  ,( 1, 0) and  ( 0,1) ]