Math Is Fun Forum

Let  us  postpone  the  above  problem  temporarily  and  consider  the  following  one .  (  A  diagram  will  be  much  helpful  to  clarify  disputes ! )

Related  problem  ( I ) :

A  boy  and  a girl  have  dated  to  meet  at  a  place . They  will  arrive  there    randomly  within  60  minutes  .   The  boy  is  willing  to  wait  for  the  girl  for  30  minutes   while  the  girl  is  willing  to  wait  for  the  boy  for  20  minutes .    Find 
(1)  the  probability  of  their  meeting  at  the  place . 
(2)  the  expectation  of  the  waiting  time  of  the  boy .
(3)  the  expectation  of  the  waiting  time  of  the  girl .

Hi  bobbym ,

No , I  don't .

Hi  bobbym ,

I  have  checked  my  solution  in  # 8  for  several  times  but  I  can't 
find  where  I  made  a  mistake .

Hi  bobbym ,

I  have  found  where  I  made  a  mistake !
The  total  volume  over  the  base  should  be 
16000 +  8000 + ( 4000 / 3 )  +  16000 
=  40000 + ( 4000 / 3 ) 
=  124000 / 3

So  the  expectation  of  the  waiting  time  of  the  boy
=  124000  / ( 3  * 60  *  60 ) 
=   310 /  27   mins .
=   11 +  13 / 27   mins.   (  about   11.5  mins )

Hope  this  answer  be  correct  .

To  find  the  expectation  of  the  boy's   waiting  time  ,  we  may  use  a 
3-dimensional  diagram  with  base  of  bobbym's  diagram  and  the 
height   at   z-axis  showing  the  corresponding  waiting  time .

(1)  For  portion ( A ) ,  it  may  be  re-divided  into  3  regions .
     (i)  region  A1   denotes  the  triangle  (20,0) , (40,0) and  (40,20)
     with  height   being  20 ( minutes)  and  area  =  20 * 20 *  1/2  = 200  .
     Thus  its  volume  =  20 *  200  = 4000 .

  (ii)  region  A2  denotes  the  square  (40,0) , (60,0) , (60,20)  and   (40,20)  with  heights  being  20  at  one  side  and  0  at  the  opposite 
side  .  Thus  the  volume  of   this   prism   =  20* 20 * 1/2 * 20  =   4000 .

(iii)  region  A3  denotes  the  triangle  (40,20), (60,20) and (60,40) .
     with  the  corresponding  pyramid  with  height  being  20 .
    Thus  the  volume  =  1/3 * 20 * 20  * 20 * 1/2  =  4000 / 3  .
Thus  total  volume  over  A  will  be  4000 + 4000 + (4000 / 3 ) 
=  8000 + (4000 / 3 ) 

(2)  For  portion  (B) , since  the  corresponding  height  =  0  , 
  therefore  the  corresponding  volume  also =  0  .

(3)  For  portion (C) , it  may  also  be  divided  into  3  regions  .
  (i)  region  C1  denotes  the  rectangle  with  length  ( 0,20) and (40,60) ,
    =  √2   * 40  .     and  width  =    √2   * 10 .
Volume   of   corresponding  prism  =  20 * √2   * 10 * 1/2  * √2   * 40
=  8000

(ii) region  C2  being  a  triangle  at  one  side  of  the  rectangle  with  area 
√2   * 10   *  √2   * 10  * 1/2  =  100  . Thus  volume   of  the  corresponding   pyramid  =  1/3 * 20 * 100  = 2000 / 3

(iii)  region C3  being  another  symmetric  triangle  at  the  other  side  of 
the  rectangle . Its  area  and  volume  of  the  corresponding  pyramid  are 
identical  to  those  of  region  C2 . Thus  the  corresponding  volume  is 
also  2000 / 3  .
Thus  total  volume  over  C  will  be  8000  + ( 2000 / 3)  * 2
= 8000 + (4000 / 3 )     (  same  as  A .)

(4)   For  portion  D , its  area  =  40 * 40 * 1/2  = 800 .  Height  of  the 
corresponding  prism  =  20  ,  thus  its  volume  =  800 * 20  =  16000 .

Thus  the  total  volume  over  the  base  =  16000 +  8000 / 3  + 16000
= 32000 +  8000 / 3  =  104000 / 3

So  the  expectation  of  the  waiting  time  of  the  boy 
=  104000  / ( 3  * 60  *  60 ) 
=  260 /  27  mins . 
=   9 +  17/ 27  mins .    (  about  9.63  mins . )

Hi  bobbym ,

You  are  right . The  maximum  waiting  time  for  the  boy  is  20  mins .
He  will  left  immediately  after  20  mins . even  he  knows  that  the  girl  will 
come  8  mins.  later .

Related  Problem  (1)
Let   n  =  100 , a = 50 , b = 30 , find  P .

Solution :
(1st  method ) :  (  according  to  # 8  and  # 19 )
Let  a ∩ b  denotes  the  total  no.  of  times   all  the   servants  receiving  money  from  both  Boss  A  and  Boss  B  at  the  same  time . 
Then  a ∩ b   consists  of  2  parts :

(Part 1)   min ( a,b) *   [ max(a, b ) - min( a, b) + 1 ]  * [ n - max(a,b) +1] 
          =  30 * 21 * 51  = 32130 

(Part 2)   2  * {   29 *  50     =  29 * ( 29 + 21 )  =  29 ^2  +   29 * 21
                        + 28 * 49     =  28 * ( 28  + 21)  =  28 ^2   +  28 * 21
                        + 27 * 48     =  27 * ( 27  + 21)  =  27 ^2   +  27 * 21
                        +  ................=  ...........................=  ...........................
                        +  1  *  22    =   1  * ( 1   +  21)  =    1 ^2   +   1  * 21  }

Since  29^2  +  28^2  +  27^2  +   ..............  +  1^2 
=  29 *  30 * 59  /  6   =  8555  .
while   29* 21 + 28* 21 + 27* 21 +  ............+ 1 * 21
=  30 *  21 * 29  / 2     =  9135  .

Thus  sum  of  Part  2  =  2 * { 8555 + 9135 }  = 2 * 17690  = 35380 

Thus   a ∩ b   =  32130 + 35380  =  67510 

So   P = 67510 / 100 * 51 * 71
              =  6751 /  36210     (  about  0.18 )
  quite  near  to   41 / 240     ( about  0.17  )

( 2nd  method )  (  according  to  # 9 , # 11  and  # 13 )
Since  the  value  in  k-th  row  and  r-th  column  in  the  table  may  be  represented  by  min (  k , n-k+1  , r , n-r+1 )  where  r  varies  from  1  to  n .

Thus  a ∩ b   =  ∑ { min (  50 , 51  , r , 101-r )
                             * min (  30 , 71  , r , 101-r ) }
                    =  ∑ { min (  r , 101-r )
                             * min (  30 , r , 101-r ) }
where  r  varies  from  1  to  100 .

(1)  For  r ≤ 30 ,sum  of  the  products  will  be ∑ r * r =∑ r^2 .
(2)  For   r  from  31  to  50 , sum  of  the  products  will  be
     ∑ r * 30
(3) For   r  from  51  to  100  (i.e. 101 - r  will  be  from  50  to  1),  sum  of  the  products  will  be     ∑ (101 - r)  * min  ( 30, 101-r ) 
     =  ∑ min [ (101 - r) * 30 , (101 - r) ^2 ] 
     
For (1) ∑ r^2 = 1^2 + 2^2 + ... + 30^2
                  = 30* 31* 61 / 6  = 9455
For (2) ∑ r * 30 = 31 * 30 + 32*30 + ...+ 50*30
                         = 81 * 30 * 20 / 2
                         = 24300

For (3) , 30 = 101-r   ⇒  r = 71  ,
( i ) for  r  from  51  to  70 ,( i.e. 101-r  from  50  to  31 )
min  (30, 101-r ) = 30 ,
Sum  of  this  portion   will  be  ∑  [ (101 - r) * 30 ] 
= 50*30 + 49*30 + .... + 31*30  = 81 * 30 * 20 / 2
                                                    = 24300

( ii ) For  r  from  71  to  100 ,( i.e. 101-r  from  30  to  1 ) ,
min  ( 30, 101-r )  = 101 - r ,
Sum  of  this  portion  will  be ∑ (101 - r) ^2
=  30^2 + 29^2 + ... + 1^2
= 30 * 31 * 61  /  6   = 9455

Thus  sum  of  ( 3 )  = 24300 + 9455 = 33755

Thus  a ∩ b   = 9455 + 24300 +  24300  + 9455 
                         =  67510           

So   P = 67510 / 100 * 51 * 71
              =  6751 /  36210     (  same  as  1st  method )

It  can  be  observed  ( from  limited  no. of  examples )  that 
(1) If  n  is  even , and  a = b = n/2 ,  then P = n+1 /  3 (n+1) + 3  ;
(2) If  n  is  odd , and  a = ( n-1 ) / 2 , while  b = ( n+1 ) / 2 , ( a  and  b  being  conjugate )  , then  P = n-1 /  3 ( n-1 ) +  3   =  n-1 /  3n  . 

For  example ,  let  n = 20 , a = b = 10 ,  then  P = 21 / 63 + 3 = 21 / 66 = 7/ 22 .
If  the  answer  is  correct , then  by  multiplied  7/ 22   by n*(n-a+1)* (n-b+1)
=   7 / 22  *   20 * 11 * 11   
=   770    which  should  =  10 * 1 * 11   + 
2 * { 9 * 10  +  8 * 9  +  7 * 8 ......  + 1 * 2 } ,
i.e.   9 * 10  +  8 * 9  +  7 * 8 ......  + 1 * 2  = ( 770 - 110 ) / 2 =  330 .

Thus  the  sum  of  a  series  of  x * (x + 1 )  ( and  then  x^2 ) can  be  found  in  this  way  without  adding  the  products  1  by  1  .

In  general , let  n  be  the  total  no. of  servants  while  a  and b  be  the  nos  of  servants  chosen  by  Boss  A  and  Boss  B  respectively . A  table  with  n-a+1  rows  and  n-b+1  columns  in  the  form  like  the  one   in  #  8  may  be  constructed  with  the  value  of  the  term  in   k-th  row  and  r-th  column  of  the  table  expressed  as 
min { a , b , max [ 0 , min ( r-k+min (a,b)  , k-r+max(a,b) ] }
where  k  varies  from  1  to  n-a+1  and  r  varies  from  1  to  n-b+1 .
( This  is  for  the  case  that  a ≥b , the  result  will  be  the  same  for 
a ≤b  just  by  exchanging  the  rows  with  columns .)

The  table  may  be  divided  into  3  portions , the  1st  portion  will  be  the
parallelogram  in  the  middle , from  r = k  to  r =  k + max(a, b ) - min( a, b) 
which  are  all  filled  with  the  value  min (a , b) .

For  r = k , value  of  each  term  in  the  corresponding  inclined  " diagonal "  will  be  fixed  to  be  min { a , b , max[ 0 , min ( min (a,b) , max (a,b)) ] } =  min (a ,b )   and  there  are  [n - max(a,b) +1 ] terms .

For  r =  k + max(a, b ) - min( a, b) ,
each  term  will  be  min { a, b, max [ 0 , min ( max(a,b) , min(a,b) )]}
also =  min (a b)    and  there  are  also  [n - max(a,b) +1 ] terms .
Thus  there  are  totally [ max(a, b ) - min( a, b) + 1 ] *[ n - max(a,b) +1] 
such  terms  with  value  min(a,b) .   

The  remaining  portion  of  the  table  consists  of  2  identical  triangles 
with  base  all  with  value [ min(a,b) - 1 ], and  there  are [ n- max(a,b) ] terms . 
Both  values   will  be  descending  towards   the  vertex  of  the  triangle  .
It  will  be  stopped  at  either  one  value = 1 .

Thus  the  sum  of  the  total  values  in  the 1st  portion  ( the  parallelogram ) 
will  be  min (a,b)  *  [ max(a, b ) - min( a, b) + 1 ]  * [ n - max(a,b) +1]  .

While the  sum  of  values  in  the  2  triangles  will  be 
2 * {    [ min(a,b) - 1 ] *  [ n- max(a,b) ]
        + [ min(a,b) - 2  ] * [ n- max(a,b) - 1]

       +  .........................*  .........................    }  ( stop  when  either  1  side  = 1 )

Thus  the  total  sum  of  values  in  the  whole  table  will  be  the  sum  of 
the  2  portions .
Divided  this  value  by  n * (n-a+1) * (n-b+1 ) , the  require  probability 
will  be  obtained .

If  a  graph  of   y = min { ab , min (a , b) r , r^2 }  is  drawn  it  can  be  found 
that  the  curve  can  be  divided  into  3  parts . 
The  1st  part  will  be  for  r  from  1  to  min (a , b)   where  y = r^2   since  when 
r  = min (a,b)  , y = min { min (a,b) * max(a,b) , min (a,b) min(a,b) ,min(a,b)^2 } 
= r^2  =  1^2 + 2^2 .....+ min(a,b)^2 .  ( totally  min(a,b)  terms) 
( Is  there  any  formula  to  calculate  the  sum  of  squares ? )

The  2nd  part  will  be  for  r  from  min(a,b) + 1  to  max (a,b)  where
y =  min(a,b) * r   since  when  r = max(a,b)  ,
y =  min { min(a,b) * max(a,b) , min(a,b) * max(a,b) , max(a,b) ^2 } = 
min(a,b) * r   = min(a,b)*[ min(a,b) +1] + ... min(a,b)* max(a,b)
(totally  max(a,b)- min(a,b) terms )
Thus  the  sum  of  the  2nd  part  will  be
min(a,b)*  (a+b+1)/2 * {max(a,b)- min(a,b)}

The  3rd  part  will  be  for  r  from  max(a,b) +1  to [ n/2]  where 
y= ab  ( being  a  constant )  and  there  are  totally  [ n/2]  -max(a,b) 
terms . Thus  the  sum  of  the  3rd  part  will  be
ab * {[ n/2]  -max(a,b) }

The  above  3  parts  will  all  exist  only  if  max(a,b) +1 ≤  [ n/2]  ,
if  max(a,b)   ≥[ n/2]  ≥ min(a,b) , then  only  part 1  and  part  2  will  exist . If  [ n/2]  ≤ min(a,b) , then  only  part 1 will  exist .

For  example , let n = 11 , a = 5  and  b = 3 ; then  the  total  sum
= 2 * { 1+4+9  + 27  + 0 }  + 15
= 2 * 41 + 15
= 97 
Since   ( n-a+1 ) * (n-b+1 ) * n  = 7 * 9 * 11 ,
therefore   P = 97/ 693  ( about  0.14 )

In   general , let  n  be  the  total  no. of  servants  being  an 
even  no ., sum  of  the  corresponding  products  will  be 
2* ∑[ min ( ab , ar , br , r^2 ) ]  or  2* ∑[ min ( ab , min (a,b) r , r^2 ) ] 
for  r  from  1  to  n/2 .
Then  the  required  probability  will  be 
2* ∑[ min ( ab , min (a,b) r , r^2 ) ]  /  n * (n-a+1) *( n-b +1)
However , the  value  of  min ( ab , ar , br , r^2 ) still  have  to  be 
calculated  1  by  1 for  each  value  of  r .

For  n  to  be  an  odd  no. ,say  11 , the  value  in  k-th row  and  r-th 
column  is  still   min (  k , n+1-k  , r , n+1-r ) , i.e. min (  k , 12-k  , r , 12-r ) . For k = n+1-k =  r = n+1-r , the  expression  will  =   n+1/ 2 being  the  unique  greatest  value  in  the  table .
In  this  case  the  whole  table  will  be  symmetric  vertically   for  k  from  1  to  [ n/2 ] ( the  greatest  integer  contained  in  n/2  ) ( which =  n-1  /2 )  with  k from   n+1 - [ n/2 ] ( =  [ n/2 ] + 2 )    to  n  . For  k  =  [ n/2 ] + 1   it  will  be  unique .
The  table  will  also  be  symmetric  horizontally  for  r  from  1  to  [ n/2] ( or
n-1 /2   )  with  r  from  [ n/2 ]+2  to  n  . For  r =   [ n/2 ] + 1  it  will  be  unique .
Then   the  sum of  product  of  min ( a, n+1-a , r , n+1-r )   and
min ( b , n+1-b , r ,n+1-r ) , may  be  simplified  to  ∑ min ( a, r ,n+1-r )  *  min ( b , r ,n+1-r ) . where  r  varies  from  1  to  n .
It  may  also  be  simplified  to   2 * {∑ min ( a , r ) *  min ( b , r) } + a*b  (  where  r  varies  from  1  to  n-1  /2 .) The  term  min ( a , r ) *  min ( b , r)   may  also  be  expressed  as 
min ( ab , ar , br , r^2 )